درسنامه آموزشی فصل اول هندسه (2) کلاس یازدهم ریاضی
درس 2: رابطههای طولی در دایره
اگر خط های شامل دو وتر از یک دایره، یکدیگر را در درون یا بیرون دایره قطع کنند بین اندازهٔ پاره خطهای حاصل روابطی داریم که به بررسی آنها میپردازیم.
فعالیت (صفحه 18 تا 19 کتاب درسی)
1- دو وتر $AB$ و $CD$ در نقطهٔ $M$ در داخل دایره یکدیگر را قطع کردهاند.
الف) از $A$ به $D$ و از $C$ به $B$ وصل کنید و نشان دهید دو مثلث $MAD$ و $MBC$ متشابهاند.
این دو مثلث بر قضیه تشابه برابری دو زاویه متشابه هستند.
$\left. \begin{gathered}
{{\hat M}_1} = {{\hat M}_2} \hfill \\
\hat D = B = \frac{{AB}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow A\mathop M\limits^\Delta D \cong C\mathop M\limits^\Delta B$
ب) با توجه به تشابه این دو مثلث داریم:$\frac{{DM}}{{BM}}$$\frac{{AM}}{{CM}} = $
2- خطهای شامل دو وتر $AB$ و $CD$ در نقطهٔ $M$ در خارج دایره یکدیگر را قطع کردهاند.
الف) نقطهٔ $A$ را به $D$ و نقطهٔ $C$ را به $B$ وصل کنید و نشان دهید دو مثلث $MAD$ و $MCB$ با هم متشابهاند.
این دو مثلث بر قضیه 1 تشابه برابری دو زاویه متشابه هستند.
$\left. \begin{gathered}
\hat M = \hat M \hfill \\
\hat A = \hat C = \frac{{BD}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow A\mathop M\limits^\Delta D \cong C\mathop M\limits^\Delta B$
ب) با توجه به این تشابه داریم: $\frac{{MD}}{{MB}}$$\frac{{MA}}{{MC}} = $
3- فرض کنیم از نقطهٔ $M$ (خارج دایره) مانند شکل یک مماس و یک قاطع بر دایره رسم کردهایم.
الف) $T$ را به $A$ و $B$ وصل، و مشخص کنید چرا؟ $\widehat {MTA} = \widehat {TBM}$
$\left. \begin{gathered}
M\hat TA = \frac{{AT}}{2} \hfill \\
T\hat BM = \frac{{AT}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow M\hat TA = T\hat BM$
ب) علت تشابه دو مثلث $MAT$ و $MTB$ را مشخص، و با توجه به این تشابه رابطهٔ زیر را کامل کنید.
این دو مثلث بر قضیه 1 تشابه برابری دو زاویه متشابه هستند. $\left. \begin{gathered}
\hat M = \hat M \hfill \\
M\hat TA = T\hat BM \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow M\mathop T\limits^\Delta B \cong M\mathop A\limits^\Delta T$
$\frac{{MT}}{{MB}}$$\frac{{MA}}{{MT}} = $
و در نتیجه: $MA\,\,.\,\,MB$$M{T^2} = $
بنابراین قضیهٔ زیر را داریم:
یعنی طول مماس واسطهٔ هندسی بین دو قطعهٔ قاطع است.
رسم مماس بر دایره از نقطهای خارج دایره
اگر خط $d$ در نقطهٔ $T$ بر دایره مماس باشد و $A$ و $M$ دو نقطه بر خط $d$ در دو طرف نقطهٔ $T$ باشد، هرکدام از پارهخطهای $MT$ و $AT$ بر دایره مماساند.
اگر $O$ مرکز دایره باشد، $\Delta OMT$ در رأس $T$ قائمالزاویه است؛ چرا؟
با توجه به کادر فوق چون طبق فرض خط $d$ در نقطهٔ $T$ بر دایره مماس است پس $OT \bot d$ در نتیجه مثلث $OMT$ در رأس $T$ قائمالزاویه است.
اگر $N$ وسط پارهخط $OM$ باشد، $NM = NO = NT$؛ چرا؟
اگر $N$ وسط پارهخط $OM$ باشد در نتیجه $TN$ میانهی مثلث قائمالزاویه $OMT$ است. «در هر مثلث قائمالزاویه اندازهٔ میانهٔ وارد بر وتر نصف اندازهٔ وتر است.» بنابراین $MN = NO = TN$
بنابراین دایره به مرکز $N$ و قطر $OM$ از نقطه $T$ میگذرد.
از این ویژگی میتوانیم در رسم مماس بر دایره از نقطه $M$ خارج دایره بر آن استفاده کنیم.
پس برای رسم مماس بر دایره از نقطه $M$ خارج دایره، ابتدا دایرهای به قطه $OM$ ($O$ مرکز دایره) رسم میکنیم.
این دایره، دایره مفروض را در دو نقطه $T$ و $T'$ قطع میکند. خطهای $MT$ و $MT'$ بر دایره مماساند؛ چرا؟
زاویههای $M\hat TO$ و $M\hat T'O$ محاطی روبهرو به قطر هستند بنابراین اندازهی هر کدام ${90^ \circ }$ است. پس شعاع نقطهٔ تماس بر پارهخطهای $MT$ و $MT'$ عمود است.
در نتیجه $MT$ و $MT'$ بر دایره مماس هستند.
کار در کلاس (صفحه 20 کتاب درسی)
هرگاه از نقطه $M$ خارج دایره $C(O,R)$ دو مماس بر دایره رسم کنیم و $T$ و $T'$ نقاط تماس باشند، ثابت کنید:
الف) اندازههای دو مماس برابرند.
دو مثلث $OMT$ و $OMT'$ به حالت وتر و یک ضلع زاویه قائمه باهم همنهشت هستند و بنا بر اجزای متناظر $MT = MT'$.
ب) نیمخط $MO$ نیمساز زاویه $TMT'$ است.
دو مثلث $OMT$ و $OMT'$ به حالت وتر و یک ضلع زاویه قائمه باهم همهشت هستند و بنا براجزای متناظر $O\hat MT = O\hat MT'$.
حالتهای دو دایره نسبت به هم و مماس مشترکها
دو دایره $C(O,R)$ و $C'(O',R')$ را با فرض $R \gt R'$ و $OO' = d$ در نظر میگیریم. حالتهای مختلفی که این دو دایره میتوانند نسبت به هم داشته باشند بهصورت زیر است:
| دو دایرهٔ برون هم (متخارج) | $d \gt R + R'$ |
|
| دو دایره مماس برون | $d = R + R'$ |
|
| دو دایره متقاطع | $R - R' \lt d \lt R + R'$ |
|
| دو دایره مماس درون | $d = R - R'$ |
|
| دو دایره متداخل | $d \lt R - R'$ |
|
| دایرههای هم مرکز | $d = 0$ |
|
هر خطی یا پارهخطی که بر هردو دایره مماس باشد، مماس مشترک دو دایره است. اگر دو دایره در یک طرفِ خط باشند، آن را مماس مشترک خارجی، و اگر دو دایره در دو طرف خط باشند آن را مماس مشترک داخلی مینامند.
فعالیت (صفحه 21 تا 22 کتاب درسی)
1- فرض کنیم مانند شکل خط $m$ در نقاط $T$ و $T'$ بر دو دایره مماس است و شعاعهای $OT$ و $O'T'$ رسم شده است. فرض کنیم فاصله بین مرکزهای دو دایره برابر $d$ باشد؛ از $O'$ خطی موازی خط $m$ رسم میکنیم تا شعاع $OT$ را در نقطهای مانند $H$ قطع کند.
الف) $TT'O'H$ مستطیل است؛ چرا؟
$OT$ و $OT'$ شعاعهای دایرهها هستند که هر دو بر خط مماس $MT$ عمودند؛ یعنی: $\hat T = \hat T' = 90$ از طرفی $O'H||TT'$ و $OT \bot TT'$ بنابه قضیه خطوط موازی و مورب نتیجه میشود. ${\hat H_1} = 90$ در نتیجه زاویه چهارم چهار ضلعی $TT'O'H$ قائمه است؛ بنابراین، چهار ضلعی یک مستطیل است. پس: $OT = O'T' = R'$ و $O'H = TT'$.
ب) با توجه به قضیه فیثاغورس در مثلث $O'HO$، تساوی زیر را توجیه کنید.
$TT' = \sqrt {{d^2} - {{(R - R')}^2}} $
در مثلث قائمالزاویه $OO'H$ بنابه رابطه فیثاغورس داریم:
$O{O'^2} = O{H^2} + O'{H^2}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,O'H = TT'\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,d = OO'\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,OH = R - R'$
${d^2} = O{H^2} + T{T'^2} \Rightarrow TT' = \sqrt {{d^2} - O{H^2}} = \sqrt {{d^2} - {{(R - R')}^2}} $
پ) با توجه به کار در کلاس قبل بگویید چرا اگر دو مماس مشترک $m$ و $n$ متقاطع باشند، نقطهٔ تقاطع آنها روی خط $OO'$ خواهد بود؟
خطهای $m$ و $n$ بر هر دو دایره مماساند.
مماسهای $MT$ و $MT''$ بر دایره مماساند. بنابه «کار در کلاس» قبل $O'M$ نیمساز زاویه $M$ است. به همین دلیل $OM$ نیمساز زاویه $M$ است. از آنجا که زاویه $M$ فقط یک نیمساز دارد، پس $OM$ و $O'M$ بر هم منطبقاند؛ یعنی $OO'$ از $M$ میگذرد.
ت) به مرکز $O$ و به شعاع $R - R'$ دایرهای رسم کنید. پارهخط $O'H$ برای دایرهٔ رسم شده چگونه خطی است؟
خط $O'H$ بر دایره مماس است.
ث) فرض کنید دو دایره داده شده، و رسم مماس مشترک خواسته شده باشد. از آنجا که مرکزها و شعاعهای دو دایره معلوم است، میتوان دایرهٔ مطرح شده در قسمت (ت) را رسم کرد و سپس مماس $O'H$ را بر آن رسم کرد؛ در این صورت چگونه میتوانید مماس $TT'$ را رسم کنید؟
به مرکز $O$ و به شعاع $R - R'$ دایرهای رسم میکنیم و آن را $C''$ مینامیم. از نقطه $O'$ بر دایره $C''$ مماس رسم میکنیم و نقطه تماس را $H$ مینامیم. $O$ را به $H$ وصل کرده و ادامه میدهیم تا دایره $C$ را در $T$ قطع کند. حال از $T$ خطی به موازات $O'H$ رسم میکنیم. این خط در نقطه $T'$ بر دایره $C'$ مماس است. $TT'$ مماس مشترک خارجی دو دایره است.
2- دو مماس مشترک داخلی $l$ و $k$ بر دو دایره متخارج مطابق شکل رسم شده است. با بهکار بردن قضیه فیثاغورث در $\Delta O'OH$ نشان دهید:
$TT' = \sqrt {{d^2} - {{(R + R')}^2}} $
مثلث $OO'H$ قائمالزاویه است. و چهار ضلعی $O'HTT'$ یک مستطیل است.
$TH = O'T = R\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,O'H = TT'$
بنابه رابطه فیثاغورس در مثلث داریم:
$O{O'^2} = O'{H^2} + O{H^2} \Rightarrow {d^2} = T{T'^2} + {(R + R')^2}$
$TT' = \sqrt {{d^2} - {{(R + R')}^2}} $
3- دو دایره مماس. دو دایره را که فقط یک نقطه مشترک داشته باشند، مماس مینامند. در این نقطه مشترک یک خط بر هر دو مماس است. اگر مرکزهای دو دایره در دوطرف این مماس باشند، آن دو دایره، مماس برونی است و اگر هر دو مرکز در یک طرف این مماس باشند، آنها را مماس درونی مینامند.
فقط یک مماس مشترک دارند. $OO' = \left| {R - R'} \right|$ |
سه مماس مشترک دارند. $OO' = R + R'$ |
با استفاده از دستور محاسبهٔ طول مماس مشترک خارجی، نشان دهید در دو دایره مماس خارج، $TT' = 2\sqrt {RR'} $
$TT' = \sqrt {{d^2} - {{(R - R')}^2}} \xrightarrow{{d = R + R'}}TT' = \sqrt {{{(R + R')}^2} - {{(R - R')}^2}} $
$ \Rightarrow TT' = \sqrt {{R^2} + {{R'}^2} + 2RR' - ({R^2} + {{R'}^2} - 2RR')} = \sqrt {{R^2} + {{R'}^2} + 2RR' - {R^2} - {{R'}^2} + 2RR'} $
$ \Rightarrow TT' = \sqrt {4RR'} \Rightarrow TT' = 2\sqrt {RR'} $
4- دو دایره متقاطع. دو دایره را که دو نقطه مشترک داشته باشند، متقاطع مینامند. در این حالت دو دایره، فقط دو مماس مشترک دارند.
و $\left| {R - R'} \right| \lt OO' \lt R + R'$؛ چرا؟
با توجه به نامساوی مثلث در مثلث $AOO'$ داریم: $OO' \lt R + R'\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
(2)
$\left. \begin{gathered} R' \lt OO' + R \Rightarrow - OO' \lt R - R' \\ R \lt OO' + R' \Rightarrow R - R' \lt OO' \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow - OO' \lt R - R' \lt OO' \Rightarrow \left| {R - R'} \right| \lt OO'$
$\left| {R - R'} \right| \lt OO' \lt R + R'$
پارهخط $AB$، که دوسر آن روی هر دو دایره است، وتر مشترک دو دایره متقاطع است. چرا پارهخط $OO'$ عمود منصف وتر مشترک $AB$ است؟
$OA = OB = R$ و $O'A = O'B = R'$ بنا بر خاصیت عمودمنصف نقاط $O$ و $O'$ روی عمودمنصف $AB$ قرار دارد و چون عمودمنصف هر پارهخط یکتا است در نتیجه پارهخط $OO'$ عمودمنصف وتر مشترک $AB$ است.
5- دو دایره متداخل. دو دایره را که تمام نقاط یکی درون دیگری باشد، متداخل می نامیم. دو دایره متداخل هیچ مماس مشترک ندارند و در آنها $OO' \lt \left| {R - R'} \right|$
تمرین (صفحه 23 کتاب درسی)
1- در دایرهٔ $C(O,R)$ وتر $AB$، وتر $CD$ به طول 9 سانتیمتر را به نسبت 1 به 2 تقسیم کرده است. اگر $AB = 11cm$، آنگاه وتر $CD$ وتر $AB$ را به چه نسبتی قطع میکند؟
$\frac{{DM}}{{MC}} = \frac{1}{2}$ با توجه به اینکه طول وتر $CD$ برابر 9 است، پس: $DM = 3$ و $MC = 6$ و طول $MC = x$ آنگاه $BM = 11 - x$ است بنابه رابطه طولی در دایره داریم:
$DM.CM = AM.MB \Rightarrow 3 \times 6 = x(11 - x) \Rightarrow {x^2} - 11x - 180 = 0$
$x = 2,9$
$\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{2}{9}$
2- از نقطهٔ $P$ در خارج دایرهای، مماس $PA$ به طول $10\sqrt 3 $ را بر آن رسم کردهایم ($A$ روی دایره است). همچنین خطی از $P$ گذراندهایم که دایره را در دو نقطهٔ $B$ و $C$ قطع کرده است و $BC = 20$. طولهای $PB$ و $PC$ را بهدست آورید.
$P{A^2} = PB\,.PC$
${(10\sqrt 3 )^2} = x(x + 20) \Rightarrow {x^2} + 20x - 300 = 0$
$x = 10\,\,\,,\,\,\, - 30$ که $x = - 30$ قابل قبول نیست.
$PB = 10\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,PC = 10 + 20 = 30$
3- در شکل زیر، دو دایره برهم مماس و دو قطر $AB$ و $CD$ از دایره بزرگتر برهم عمودند. اگر $AM = 16$ و $ND = 10$، شعاعهای دو دایره را پیدا کنید.
شعاع دایره بزرگ را $R$ مینامیم. $ON = R - 10\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,OM = R - 16$
از طرفی قطر عمود بر وتر، وتر را نصف میکند. $ON = ON' = R - 10$ بنابه رابطه طولی در دایره داریم:
$NO\,.\,ON' = OM\,.\,OB \Rightarrow {(R - 10)^2} = (R - 16)R \Rightarrow R = 25$
شعاع دایره کوچک برابر است با نصف $MB$ یعنی $R' = \frac{1}{2}(MB) = \frac{1}{2}(R + (R - 16)) = 17$
4- مطابق شکل زیر، تمام دایرهها در نقطه $T$ برهم مماساند و از نقطه $M$ روی مماس مشترک آنها بر دایرهها مماس رسم کردهایم؛ ثابت کنید
$M{T_1} = M{T_2} = M{T_3} = M{T_4} = ...$
$MT$ و $M{T_3}$ بر یک دایره مماساند $MT = M{T_3}$ از طرفی $MT$ و $M{T_4}$ بر یک دایره مماساند $MT = M{T_4}$.
$MT$ و $M{T_1}$ بر یک دایره مماساند پس $MT = M{T_1}$ به همین ترتیب $MT = M{T_2}$.
5- طول شعاعهای دو دایرهٔ متخارج را بهدست آورید که طول مماس مشترک خارجی آنها مساوی $3\sqrt 7 $ و طول مماس مشترک داخلی آنها $\sqrt {15} $ و طو خطالمرکزین آنها مساوی 8 واحد است.
$d = 8\,\,\,,\,\,\,TT' = \sqrt {{d^2} - (R - R')} = 3\sqrt 7 \Rightarrow R - R' = 1$
$TT' = \sqrt {{d^2} - (R + R')} = \sqrt {15} \Rightarrow R + R' = 7$
از حل دستگاه داریم:
$\eqalign{
& R = 4 \cr
& R' = 3 \cr} $
6- سه دایره به شعاعهای برابر $r$ دو به دو برهم مماساند. مطابق شکل زیر این سه دایره به وسیلهٔ نخی بسته شدهاند. نشان دهید طول این نخ برابر $6r + 2\pi r$. همچنین نشان دهید مساحت ناحیه محدود به سه دایره برابر ${r^2}(\sqrt 3 - \frac{\pi }{2})$ است.
هر یک قطاع 120 درجه است. پس مجموع سه قطاع ${120^ \circ }$ داریم یعنی یک دایره کامل داریم پس طول نخ برابر محیط یک دایره به علاوه 3 برابر طول $AB$ که 2 برابر شعاع دایره است.
$ + 3AB = 2\pi r + 3(2r) = 2\pi r + 6r$ محیط دایره = طول نخ
مساحت هاشور برابر است با مساحت مثلث متساوی الاضلاع منهای مساحت 3 قطاع
$S = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{(2r)^2} - 3(\frac{{\pi {{(r)}^2} \times 60}}{{360}}) = r\sqrt 3 - \frac{{\pi {r^2}}}{2}$ هاشور
7- طول خطالمرکزین دو دایرهٔ مماس درونی 2 سانتی متر و مساحت ناحیهٔ محدود بین آنها $16\pi $ سانتیمترمربع است. طول شعاعهای دو دایره را بهدست آورید.
با توجه به شکل $OA = R$ و $O'A' = R'$ در نتیجه:
$ = \pi {R^2} - \pi {R'^2} = 16\pi \Rightarrow {R^2} - {R'^2} = 16 \Rightarrow (R - R')(R + R') = 16$ مساحت ناحیه محدود بین دو دایره
$\xrightarrow{{OO' = R - R' = 2}}2(R + R') = 16 \Rightarrow R + R' = 8$
$\left\{ \begin{gathered}
R + R' = 8 \hfill \\
R - R' = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow 2R = 10 \Rightarrow R = 5\,\,,\,\,R' = 3$
8- مطابق شکل دایره به شعاع 4، مساحت ناحیه سایه زده را محاسبه کنید. این ناحیه، یک قطعه دایره نام دارد.
مثلث $OAB$ متساوی الساقین است که او $\hat O = {60^ \circ }$ پس این مثلث متساوی الاضلاع است مساحت مثلث $OAB$ $-$ مساحت قطاع 60 درجه $=$ مساحت قسمت رنگی (A)
$A = \frac{{\pi {r^2}}}{{360}}\alpha - \frac{{\sqrt 3 }}{4} \times {r^2} \Rightarrow A = \frac{{16\pi }}{{360}} \times 60 - 4\sqrt 3 = \frac{8}{3}\pi - 4\sqrt 3 $